3.2 Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Lorsque les points du nuage paraissent presque alignés, on peut chercher une relation de la forme y = ax + b qui exprime de façon approchée y en fonction de x, autrement dit, une fonction affine f telle que l’égalité y = f(x) s’ajuste au mieux avec les données.

Graphiquement, cela signifie qu’on cherche une droite qui passe au plus près de tous les points du nuage.

Une telle relation permettrait notamment de faire des prévisions. Pour mesurer la qualité d’une telle formule, on considère, pour chaque valeur x_i, la différence entre la valeur observée, c’est à dire y_i, et la valeur calculée par la formule, c’est à dire ax_i + b. On souhaite que toutes les différences : y_i - (ax_i + b) appelées erreurs, ou résidus, ou perturbations, soient les plus petites possible.La méthode la plus couramment employée, dite méthode des moindres carrés, consiste à choisir a et b de façon que la somme des carrés des résidus soit la plus petite possible.

On considère par la suite un nuage de points M_i(x_i;y_i) (avec 1 ≤ i ≤ n).

Définition :

Il existe une droite unique associée au nuage Mi(xi;yi), avec i = 1,…,n telle que la somme des MiPi2 soit minimale.

∙ Cette droite passe par le point moyen G(x,y) du nuage.

∙ Elle a une équation du type y = ax + b avec a = et b = y - ax.

∙ Cette droite s’appelle la droite de régression de y en x.

Utilisation de la calculatrice pour la détermination de l’équation de la droite de régression

Texas Instrument (TI - 80)  :

STAT 1 : Edit … permet d’entrer les valeurs de x dans L1, puis celles de y dans L2

STAT CALC 3 : LINREG(aX+b) puis (2^ndL1,2^nd L2)ENTER(Ceci nous donne a et b.

Casio Graph 25

Dans le menu STAT, entrer les valeurs de x dans List 1, puis celles de y dans List 2.

, entrer dans 2VarXList : List 1 et 2VarYList : List 2

puis Calc Reg 1-Linear (On obtient alors a et b.)

Exercice : Considérons la série statistique à deux variables (x_i;y_i), pour i = 1,2,…,6 :

1. Placer, dans un repère orthogonal, le nuage de points et constater que la forme "allongée" du nuage justifie un ajustement affine.
2. Placer le point moyen G de ce nuage.
3. Tracer la droite d de régression de y en x.

Solution :

1. Représentation du nuage de points :

   

2. Le point moyen G a pour coordonnées (x;y).On obtient grâce à la calculatrice : x = 10778 et y = 742,3.
3. La droite d passe par G ;pour la tracer, il suffit de connaître son équation y = ax + b :d’après la calculatrice, a ≈-0,487 et b ≈ 5991.