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3.1 Point moyen - Covariance

Sur une population donnée, étudions deux caractères.

Pour chacun des n individus de cette population, notons xi et yi les valeurs prises par chacun de ces caractères, et présentons les données à l’aide de la série statistique à deux variable suivante :

Valeur xi x1 x2 … xn
Valeur yi y1 y2 … yn

3.1.1 Nuage de points - Point moyen

Définition :
Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points Mi de coordonnées (xi;yi) (avec 1 ≤ i ≤ n)
est appelé le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables.

Notons x = 1 n-(x1 + x2 + … + xn) = 1 n-∑ i=1nx i et y = 1 n-(y1 + y2 + … + yn) = 1 n-∑ i=1ny i

Ainsi x et y représentent respectivement la moyenne des séries (xi) et (yi).

Définition :
Le point G de coordonnées (x;y) est appelé le point moyen du nuage de points
associé à cette série statistique à deux variables.

Obtention des coordonnées du point moyen grâce à la calculatrice :

Texas Instrument (TI - 80)  :

STAT 1 : Edit … permet d’entrer les valeurs de x dans L1, puis celles de y dans L2

STAT CALC 2 : 2-VAR Stats puis (2ndL1,2nd L2)ENTER(Ceci nous donne x et y ).

Casio Graph 25

Dans le menu STAT, entrer les valeurs de x dans List 1, puis celles de y dans List 2.

CALC
SET

, entrer dans 2VarXList : List 1 et 2VarYList : List 2

EXE

puis Calc 2-Var (On obtient alors x et y.)

Exemple :

La série statistique double suivante indique les notes mensuelles d’un élève au cours des cinq premiers mois de l’année scolaire numérotés de 1 à 5.

Valeur Moisxi 1 2 3 4 5
Note yi 8 9 12 12 13

x = 3 et y = 10,8 donc le point moyen G du nuage représenté ci-dessous a pour coordonnées (3;10,8).

PIC

3.1.2 variance - covariance

Pour étudier la dispersion de chaque variable x et y, on peut calculer leurs variances : V x = -1 n∑ i=1n(x i -x)2 et V y = 1 -- n∑ i=1n(y i -y)2 .

Mais il est utile d’introduire une quantité qui fasse intervenir à la fois les valeurs de x et de y.

Définition :
On appelle covariance de x et y le nombre : Cxy = 1- n∑ i=1n(x i -x)(yi -y) = ( n ) 1-∑ x y n i=1 ii-xy.

La seconde expression est plus commode pour les calculs à la main.

Dans l’exemple précédent, Cxy = 1 5(1 × 8 + 2 × 9 + 3 × 12 + 4 × 12 + 5 × 13) - 3 × 10,8 = 35 - 32,4 = 2,6.

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