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3.2 Positivité et ordre

Propriété :
∙ Si a ≤ b et si pour tout x de [a;b] , f(x) ≥ 0 , alors ∫ b f(x) dx ≥ 0. a
En conséquence :
∙ Si a ≤ b et si pour tout x de [a;b] , f(x) ≤ g(x) , alors ∫ b ∫ b f(x) dx ≤ g(x ) dx a a .

Pour des applications voir dans le livre les exercices 58-59 page 222

Exemple d’utilisation :

La courbe représentative de la fonction x ↦→ lnx est située en dessous de la tangente au point d’abscisse 1 d’équation y = x- 1 donc pour tout x ∈ ]0;+ ∞ [ , ln x ≤ x - 1 .
Comme 1 < 2 ,on a alors ∫ 2 ∫ 2 ln(x) dx ≤ x- 1 dx. 1 1
Or une primitive de la fonction x ↦→ x - 1 est définie par F(x) = x22- x d’où ∫ 2 x- 1 dx = F(2)- F(1) = 1 1 2 .
On obtient donc : ∫ 2 1 1 x- 1 dx ≤ 2 .

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