1.3 Caractérisation d’une fonction affine.

1.3.1 Caractérisation par le taux de variation.


Théorème 1 :
Soit f  une fonction affine définie par f(x) = mx + p  .
Alors pour tout a  et b  , la variation f(b)- f(a)  est proportionnelle à la variation b - a  .
De plus si a ⁄= b  alors m = f(b)-f(a)
       b-a  .
Ce rapport est appelé taux de variation1  de                                          f  entre                                                  a  et                                                       b  .
Autrement dit , le coefficient directeur est le taux de variation de f  .

Preuve :
Soit a  et b  deux réels alors f(a) = ma + p  et f(b) = mb + p  donc f(b)- f(a) = mb - ma = m(b- a)  et si a ⁄= b  on peut diviser par b- a  d’où f(b)-f(a)
  b-a   = m  .


Théorème 2 :(la réciproque)
Soit f  une fonction définie sur ℝ
Si pour tout a  et b  , la variation f(b)- f(a)  est proportionnelle à la variation b- a  alors f  est une fonction affine.
Autrement dit, si pour tout a ⁄= b  le nombre f(b)-f(a)
  b-a  est constant alors f  est une fonction affine dont le
c÷fficient directeur est m = f(b)-f(a)
      b-a  .

Preuve :Par hypothèse la variation f(b)- f(a)  est proportionnelle à la variation b- a  pour tout a  et b  réels .
Notons m  ce c÷fficient de proportionnalité donc f(b)- f(a) = m (b- a)  pour tout a  et b  réels.
Soit x  un réel quelconque , posons b = x  , a = 0  alors f(x) - f(0) = m (x - 0)  donc f(x) = mx + f(0)
.
En posant p = f(0)  on obtient f (x) = mx + p  pour tout réel x  ,par conséquent f  est affine.

1.3.2 Applications.

Exemple 1 :

Dans un repère les points A  et B  ont pour coordonnées (- 4;- 1)  et (2;2)  , déterminer la fonction affine représentée par la droite (AB )  .

Exemple 2 :

Soit f  une fonction affine telle que f(0) = 3  et f(4) = - 1  .Déterminer f  .