1.3 Caractérisation d’une fonction affine.

1.3.1 Caractérisation par le taux de variation.

Théorème 1 :

Soit une fonction affine définie par .

Alors pour tout et , la variation est proportionnelle à la variation .

De plus si alors .

Ce rapport est appelé taux de variation de entre et .

Autrement dit , le coefficient directeur est le taux de variation de .

Preuve :
Soit et deux réels alors et donc et si on peut diviser par d’où .

Théorème 2 :(la réciproque)

Soit une fonction définie sur

Si pour tout et , la variation est proportionnelle à la variation alors est une fonction affine.

Autrement dit, si pour tout le nombre est constant alors est une fonction affine dont le

c÷fficient directeur est .

Preuve :Par hypothèse la variation est proportionnelle à la variation pour tout et réels .
Notons ce c÷fficient de proportionnalité donc pour tout et réels.
Soit un réel quelconque , posons , alors donc .
En posant on obtient pour tout réel ,par conséquent est affine.

1.3.2 Applications.

Exemple 1 :

Dans un repère les points et ont pour coordonnées et , déterminer la fonction affine représentée par la droite .

Exemple 2 :

Soit une fonction affine telle que et .Déterminer .