1.3 Exercice 2 :Extrait de l’épreuve de mars 2003 à Pondichéry

Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites : communes, saumonées et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s’il peut considérer que son bassin contient autant de truites de chaque variété. Pour cela il effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une truite avec remise et obtient les résultats suivants :

1. 1. Calculer les fréquences de prélèvement f_c d’une truite commune, f_s d’une truite saumonée et f_a d’une truite arc-en-ciel. On donnera les valeurs décimales exactes.
   2. On pose d² = ² + ² + ².

      Calculer 400d² arrondi à 10^-2 ; on note 400d _obs² cette valeur.

      À l’aide d’un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement au hasard de 400 truites suivant la loi équirépartie. Il répète 1 000 fois cette opération et calcule à chaque fois la valeur de 400d².

      Le diagramme à bandes ci-dessous représente la série des 1 000 valeurs de 400d², obtenues par simulation.

      

2. Déterminer une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du neuvième décile D9 de cette série.
3. En argumentant soigneusement la réponse dire si on peut affirmer avec un risque d’erreur inférieur à 10 % que « le bassin contient autant de truites de chaque variété ».
4. On considère désormais que le bassin contient autant de truites de chaque variété. Quand un client se présente, il prélève au hasard une truite du bassin.

   Trois clients prélèvent chacun une truite. Le grand nombre de truites du bassin permet d’assimiler ces prélèvements à des tirages successifs avec remise.

   Calculer la probabilité qu’un seul des trois clients prélève une truite commune.