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1.4 Calcul d’aire entre deux courbes

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b , on note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g dans un repère orthogonal .

Si a ≤ b et si f(x) ≥ g(x) pour tout x de [a;b] ,alors ∫ b (f(x)- g(x))dx a est l’aire du domaine D ,en u.a.
Le domaine D est délimité par la courbe Cf , la courbe Cg et les droites d’équations x = a et x = b .

EXEMPLE :

PIC

On considère f et g sur ℝ par :
2 f(x) = - 0,5x + 3x+ 5,5 et g(x) = 0,5x + 4
On veut déterminer l’aire A en u.a. du domaine D  :
{ 1 ≤ x ≤ 5 g(x) ≤ y ≤ f(x)
D est délimité par les 2 courbes Cf et Cg et
les droites d’équations x = 1 et x = 5 .
On remarque que f(x) ≥ g(x) pour tout x ∈ [1;5] .
En effet il suffit d’étudier le signe
de 2 f(x)- g(x ) = - 0,5x + 2,5x +1,5 sur [1;5] .
∫ 5 A= (f(x)- g(x ))dx ∫1 5 = (- 0,5x2 + 2,5x + 1,5)dx [1 ] = - 0,5x3+ 1,25x2 + 1,5x 5 46 3 1 = 3 u.a.

Pour des applications voir dans le livre les exercices 51-52-53 page 221

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