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2.2 Sens de variations.

Théorème :
La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ]- ∞; 0] et croissante sur [0;+ ∞[ .
Elle admet un minimum valant 0 atteint en x = 0 .

Preuve :
Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b .Il s’agit de comparer f (a) et f(b) .
Or dans le chapitre sur l’ordre nous avons établi le résultat suivant :

  • Si 0 ≤ a < b alors a2 < b2
  • Si a < b ≤ 0 alors a2 > b2

Donc avec le point de vue fonctionnel :

  • Si a et b sont deux réels de [0;+ ∞ [ tels que a < b alors f(a) < f (b)
  • Si a et b sont deux réels de ]- ∞; 0] tels que a < b alors f(a) > f(b)

Ainsi f conserve l’ordre sur [0;+∞ [ et inverse l’ordre sur ]- ∞;0] .

x - ∞    0    + ∞
f(x) PIC PIC
0

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