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5.2 Sens de variation.

Théorème :
La fonction cube est croissante sur ℝ .

Preuve :
Soient a et b deux réels non nuls tels que a < b .Il s’agit de comparer f(a) et f(b) .
Remarquons que f (a) = a3 = a× a2 et f (b) = b3 = b× b2 .

Etude sur [0;+ ∞ [  :

  • Si 0 ≤ a < b alors a2 < b2 alors a× a2 < a × b2 .
  • Si 0 ≤ a < b alors a× b2 < b× b2 .
  • Donc si 0 ≤ a < b alors a× a2 < a × b2 < b× b2 .

Ainsi,si 0 ≤ a < b alors a3 < b3 donc f est croissante sur [0;+ ∞ [ .
Etude sur ]- ∞; 0]

  • Si a < b ≤ 0 alors a2 > b2 alors a× a2 < a × b2 .
  • Si a < b ≤ 0 alors a× b2 < b× b2 .
  • Donc Si a < b ≤ 0 alors a× a2 < a× b2 < b ×b2 .

Ainsi,Si a < b ≤ 0 alors a3 < b3 donc f est croissante sur ]- ∞; 0] .

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