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7.1 Mesure des angles en radians

Soit C un cercle de centre O et de rayon 1 unité. Son diamètre vaut donc 2 unités sa circonférence vaut donc 2π unités.

Ainsi la valeur π correspond à la longueur du demi-cercle de rayon 1 unité.
PIC

On note I est un point de ce cercle. On prend pour unité de longueur la longueur OI . Soit J un autre point du cercle tel que le repère (O; -→OI;-O→J ) soit orthonormé.

Lorsqu’on oriente le plan dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre,on dit que le plan est orienté
dans le sens direct ou positif ou encore trigonomé-
trique.

Soit d la droite tangente au cercle en I .

« Enroulons » la droite d autour du cercle.
Chaque point de d va donc correspondre avec un point du cercle.
Exemple :
Si A ′ est le point de d d’ordonnée π , alors la longueur IA ′ = π donc le point du cercle qui va correspondre avec A′ est A .
De la même manière placez un point J ′ sur la droite d tel que J et J′ correspondent après enroulement.
La longueur de l’arc ↷ IJ est π 2 , donc l’ordonnée de ′ J sur d est π 2 .
De façon générale :

Soit M ′ un point sur d dont l’ordonnée est noté α .
En « enroulant » d sur le cercle, on obtient
un point M sur le cercle C tel que M et M ′ coïncident.
On dit que α est une abscisse curviligne de M .

Définition
Une mesure de l’angle IOM en radians, dans
le sens direct est une abscisse curviligne α de M .
On note IOM = α rad.

Exemples :

  • ^ IOI = 0 rad ou 2π rad ou - 2π rad ou 4π rad ou - 4π rad ...
  • ^ π IOJ = 2 rad ou ^ π 5π IOJ = 2 +2π = 2 rad ou π 2 + 4π rad = 9π 2 rad ou π 2 + 6π rad = ... etc.
  • IOA = π rad ou π+ 2π rad ... etc.
  • 3π IOB = 2 rad ou π - 2 rad ou encore 7π 2 rad ... etc.

PIC

Remarque :
Si on considère un cercle de centre O , de rayon R , et un angle AOM , A et M étant deux points du cercle. Désignons par L la longueur de l’arc de cercle de A à M . Une mesure en radians de l’angle AOM est le réel -L α = R .

PIC

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